Question

如图，直线y=-

3

3

x+4分别与x、y轴交于点 A、B，以OB为直径作⊙M，⊙M与直线AB的另一个交点为D．
（1）求∠BAO的大小；
（2）求点D的坐标；
（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO-QD|的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠BAO的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再写出点D的坐标即可；
（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时|QO-QD|=OD的值最大，然后求解即可．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

3

x+4分别与x、y轴交于点A、B，
∴当y=0时，-

3

3

x+4=0，解得x=4

3

；
当x=0时，y=4，
∴A（4

3

，0），B（0，4）．
∴OA=4

3

，OB=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=

OB

OA

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°；

（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，
∵OB是⊙M的直径，
∴∠BDO=∠ADO=90°，
在Rt△AOD中，∵∠BAO=30°，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×4

3

=2

3

，
∠DOE=60°，
在Rt△DOE中，OE=OD•cos∠DOE=2

3

×

1

2

=

3

，
DE=OD•sin∠DOE=2

3

×

3

2

=3，
∴点D的坐标为（

3

，3）；

（3）易知对称轴l是OA的垂直平分线，延长OD交对称轴l于点Q，
此时|QO-QD|=OD的值最大，
理由：设Q′为对称轴l上另一点，连接OQ′，DQ′，
则在△ODQ′中，|Q′O-Q′D|＜OD，
∴|QO-QD|的最大值=OD=2

3

．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q为直线OD与对称轴的交点是解题的关键．