Question

18．某企业信息部进行市场调查发现：
信息一、如果单独投资A种产品，所投资利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：

x（万元）	1	2	2.5	3	5
yA（万元）	0.4	0.8	1	1.2	2

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y_B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y_B=ax²+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）从所学过的函数中猜想y_A与x之间的关系，并求出y_A与x的函数关系式；
（2）求出y_B与x的函数关系式，并求想利润y_B为3（万元）应投资金额；
（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；
（2）用待定系数法将坐标（2，2.4），（4，3.2）代入函数关系式y_B=ax²+bx求解即可；
（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值．

解答 解：（1）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，
故设函数关系式y_A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0.4}\\{2k+b=0.8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=0.4}\\{b=0}\end{array}\right.$．
则y_A=0.4x；
（2）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y_B=ax²+bx，
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2.4}\\{16a+4b=3.2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.2}\\{b=1.6}\end{array}\right.$．
故y_B与x的函数关系式：y_B=-0.2x²+1.6x，
当y_B=3时，-0.2x²+1.6x=3，解得x₁=3，x₂=5．
故利润y_B为3（万元）应投资金额为3万元或5万元；
（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15-x）万元，总利润为W万元，
W=-0.2x²+1.6x+0.4（15-x）=-0.2（x-3）²+7.8，
即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元．

点评 本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用，运用待定系数法求出函数关系式以及根据二次函数的性质确定最大值是解决问题的关键．