Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=

3

8

AC，AB=10时，求线段BO的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；
（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10-4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．

解答：（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO；

（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，

AE=OD ∠AOD=∠PAE AP=AO

，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO；

（3）解：设AE=OC=3k，
∵AE=

3

8

AC，∴AC=8k，
∴OE=AC-AE-OC=2k，
∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD=

AO2-OD2

=

(5k)2-(3k)2

=4k．
∴BD=AB-AD=10-4k．
∵OD∥AP，
∴

OD

AP

=

BD

AB

，即

3k

5k

=

10-4k

10

解得k=1，
∵AB=10，PE=AD，
∴PE=AD=4K，BD=AB-AD=10-4k=6，OD=3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO=

BD2+OD2

=

62+32

=3

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．