Question

7．如图，点E、F、G、H分别位于边长为2cm正方形ABCD的四条边上，且四边形EFGH也是正方形．问：当点E位于何处时，正方形EFGH的面积S（cm²）最小？最小面积是多少？

Answer 1

分析 因为正方形ABCD的边长为2cm，设AE=x，则BE=2-x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为2cm，设AE=x，
∴BE=2-x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
在△AHE和△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}\\{∠AHE=∠BEF}\\{EH=EF}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE=BF=CG=DH=x，AH=BE=CF=DG=2-x，
∴EF²=BE²+BF²=（2-x）²+x²=2x²-4x+4²，
∴正方形EFGH的面积S=EF²=2x²-4x+4²=2（x-1）²+2，
即：当x=1（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．