Question

【题目】已知二次函数y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，

（1）当a=0，2，4时，请在同一直角坐标系中画出对应函数图象的顶点，并画出a=2 时的函数图象；
（2）证明当a取任意实数时，顶点在一条确定的直线上；
（3）求（2）中的直线被抛物线y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2截得的线段长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2=4（x﹣ a）2﹣2a+2，

∴抛物线的顶点坐标为（ a，﹣2a+2）．

当a=0时，抛物线的顶点坐标为（0，2）；

当a=2时，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），抛物线的解析式为y=4（x﹣1）2﹣2；

当a=4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣6）．

画出函数图象如图所示

（2）证明：∵抛物线的顶点坐标为（ a，﹣2a+2），

∴﹣2a+2=﹣4×（ a）+2，

∴y=﹣4x+2，即当a取任意实数时，顶点在一条确定的直线上

（3）解：联立两函数解析式成方程组，

，解得： ， ，

∴两函数的交点坐标为（ a﹣1，﹣2a+6），（ a，﹣2a+2），

∴（2）中的直线被抛物线y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2截得的线段长为 =

【解析】(1) 利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，由此可得出抛物线的顶点坐标，分别代入a=0、a=2、a=4找出顶点坐标，并画出a=2时，二次函数的图象即可；
（2）由待定系数法，将抛物线的顶点坐标代入直线的解析式，消去a后即可得出y=-4x+2，此题得证；
（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标，再根据两点间的距离公式求出线段长度即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．