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【题目】【新知理解】

如图①,若点在直线l同侧,在直线l上找一点,使的值最小.

作法:作点关于直线l的对称点,连接交直线l于点,则点即为所求.

【解决问题】

如图②是边长为6cm的等边三角形的中线,点分别在上,则的最小值为 cm;

【拓展研究】

如图③,在四边形的对角线上找一点,使.(保留作图痕迹,并对作图方法进行说明)

【答案】(1);(2)作图见解析.

【解析】试题分析:(1)作点E关于AD的对称点F,连接PF,则PE=PF,根据两点之间线段最短以及垂线段最短,得出当CF⊥AB时,PC+PE=PC+PF=CF(最短),最后根据勾股定理,求得CF的长即可得出PC+PE的最小值;
(2)根据轴对称的性质进行作图.

方法1:作B关于AC的对称点E,连接DE并延长,交ACP,连接BP,则∠APB=∠APD.

方法2:作点D关于AC的对称点D',连接D'B并延长与AC的交于点P,连接DP,则∠APB=∠APD.

试题解析:(1)【解决问题】
如图②,作点E关于AD的对称点F,连接PF,则PE=PF,

当点F,P,C在一条直线上时,PC+PE=PC+PF=CF(最短),
CFAB时,CF最短,此时BF=AB=3(cm),
RtBCF中,CF=cm),
PC+PE的最小值为3cm;
(2)【拓展研究】
方法1:如图③,作B关于AC的对称点E,连接DE并延长,交ACP,点P即为所求,连接BP,则∠APB=APD.

方法2:如图④,作点D关于AC的对称点D',连接D'B并延长与AC的交于点P,点P即为所求,连接DP,则∠APB=APD.

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