Question

24、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠ABC=45°，AB的垂直平分线EG交BC于F，交DC的延长线于G．
求证：（1）CF=CG；（2）BC=DG．

Answer 1

分析：（1）根据EF⊥AB，∠B=45°，可求得∠CFG=45°，根据梯形的性质，一组对边平行，可求得∠FGC=45°，从而得证．
（2）连接AF，连接AG，根据题目所给的条件能证明AF=DC，进而证明BF=DC，又因为CF=CG，问题可证明．

解答：证明：（1）∵EF⊥AB，∠B=45°
∴∠EFB=90°-45°=45°∴∠CFG=45°
∵AD∥BC，∠ADC=90°∴∠FCG=90°
∴∠FGC=45°，∴CF=CG（3分）

（2）连接AF，．（4分）
∵EF是AB的中垂线∴AF=BF，FE⊥AB
∴∠AFE=∠BFE=45°∴∠AFB=90°．（6分）
∴∠AFB=∠DCB∴AF∥CD，∵AD∥BC∴AF=DC，∴BF=DC（8分）
由（1）知CF=CG∴BF+CF=DC+CG，即：BC=DG．（10分）

点评：本题考查直角梯形的性质，直角三角形有两个角是直角，且一组对边平行以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到两端的点的距离相等．