【题目】某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1: .
(1)求新坡面的坡角a;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆桥?请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵新坡面的坡度为1: ,
∴tanα=tan∠CAB= = ,
∴∠α=30°.
答:新坡面的坡角a为30°
(2)
解:
文化墙PM不需要拆除.
过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6,
∵坡面BC的坡度为1:1,新坡面的坡度为1: ,
∴BD=CD=6,AD=6 ,
∴AB=AD﹣BD=6 ﹣6<8,
∴文化墙PM不需要拆除.
【解析】(1)由新坡面的坡度为1: ,可得tanα=tan∠CAB= = ,然后由特殊角的三角函数值,求得答案;(2)首先过点C作CD⊥AB于点D,由坡面BC的坡度为1:1,新坡面的坡度为1: .即可求得AD,BD的长,继而求得AB的长,则可求得答案.此题考查了坡度坡角的知识.注意根据题意构造直角三角形是关键.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点E为BC上一点,F为DE的中点,且∠BFC=90°.
(1)当E为BC中点时,求证:△BCF≌△DEC;
(2)当BE=2EC时,求 的值;
(3)设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C′,连结FC′,AF,若点C′到AF的距离是 ,求n的值.
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【题目】如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2;
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积.
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【题目】为了解“数学思想作文对学习帮助有多大?”研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查,并将调查得到的数据用下面的扇形图和如表来表示(图、表都没制作完成).
选项 | 帮助很大 | 帮助较大 | 帮助不大 | 几乎没有帮助 |
人数 | a | 540 | 270 | b |
根据上面图、表提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共有多少名学生参与了问卷调查?
(2)求a、b的值.
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【题目】按要求回答问题:
(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①).求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其它条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;
(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其它条件不变,则 的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)
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【题目】某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示:
年龄(岁) | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
人数 | 2 | 5 | 2 | 2 | 1 |
则这12名队员年龄的众数、中位数分别是( )
A.2,20岁
B.2,19岁
C.19岁,20岁
D.19岁,19岁
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【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx的图象过点A(﹣1,3),顶点B的横坐标为1.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P在该二次函数的图象上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图3,一次函数y=kx(k>0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点,点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),过点T作直线TN∥y轴交OC于点N.若在点T运动的过程中, 为常数,试确定k的值.
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【题目】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?
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