Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且$cosa=\frac{4}{5}$．下列结论：
①△ADE∽△ACD；   
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或$\frac{25}{2}$；   
④CD²=CE•CA．  
其中正确的结论是①②③ （把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，而∠ADE=∠B=α，则∠ADE=∠C，所以△ADE∽△ACD，于是可对①进行判断；作AH⊥BC于H，如图1，先证明△ABD∽△DCE，再利用余弦定义计算出BH=8，则BC=2BH=16，当BD=6时，可得AB=CD，则可判断△ABD≌△DCE，于是可对②进行判断；由于△DCE为直角三角形，分类讨论：当∠DEC=90°时，利用△ABD∽△DCE得到∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，易得BD=8，当∠EDC=90°，如图2，利用△ABD∽△DCE得到∠DAB=∠EDC=90°，然后在Rt△ABD中，根据余弦的定义可计算出BD=$\frac{25}{2}$，于是可对③进行判断；由于∠BAD=∠CDE，而AD不是∠BAC的平分线，可判断∠CDE与∠DAC不一定相等，因此△CDE与△CAD不一定相似，这样得不到CD²=CE•CA，则可对④进行判断．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正确；
作AH⊥BC于H，如图1，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，∵cosB=cosα=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{4}{5}$×10=8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6时，CD=10，
∴AB=CD，
∴△ABD≌△DCE，所以②正确；
当∠DEC=90°时，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，
∴点D与点H重合，此时BD=8，
当∠EDC=90°，如图2，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠DAB=∠EDC=90°，
在Rt△ABD中，cosB=cosα=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{10}{\frac{4}{5}}$=$\frac{25}{2}$，
∴△DCE为直角三角形时，BD为8或$\frac{25}{2}$，所以③正确；
∵∠BAD=∠CDE，
而AD不是∠BAC的平分线，
∴∠CDE与∠DAC不一定相等，
∴△CDE与△CAD不一定相似，
∴CD²=CE•CA不成立，所以④错误．
故答案为①②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了解直角三角形．