Question

20．在边长为2的正方形ABCD中，P为AB上的一动点，E为AD中点，PE交CD延长线于Q，过E作EF⊥PQ交BC的延长线于F，则下列结论：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③当P为AB中点时，CF=$\sqrt{2}$；④若H为QC的中点，当P从A移动到B时，线段EH扫过的面积为$\frac{1}{2}$，其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可；

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，
∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，
∴△AEP≌△DEQ，故①正确，
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°，
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵PG=EM，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，故②正确，
③连接QF．则QF=PF，PB²+BF²=QC²+CF²，设CF=x，
则（2+x）²+1²=3²+x²，
∴x=1，故③错误，
④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，
故EH扫过的面积为△ESD的面积的一半为$\frac{1}{2}$，故④正确．
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．