Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）结论：BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D，连接圆心O和点D（即为半径），再证垂直即可；
（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．
解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）
证明：如图，连接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如图，连接DE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AD：AE=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
 cos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）
∵BC=2，BD=；
解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=AD
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AH：AO=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，
∵BC=2，
∴BD=．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质．