Question

已知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．
（1）如图1，当BD＜1时，求证：△ACF≌△ABD；
（2）如图2，当BD＞1时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF与线段BD的关系，并说明理由；
（3）连接GF，判断当线段BD为何值时，△GFC是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，即可证明△ABD≌△ACF，
（2）先猜后证，由（1）得△ABD≌△ACF，再推出CF⊥BD；
（3）连接GF，根据条件可得出△AFG≌△ADG，则FG=DG，然后分两种情况：当BD＜1时，当BD＞1时，得出答案即可．
解答：解：（1）∵四边形ADEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°（2分）
∴∠BAD=∠CAF，∴△ABD≌△ACF（4分）

（2）作图如右：（6分）
猜测：CF=BD，CF⊥BD（7分）
理由是：同（1）可得△ABD≌△ACF
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°
∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD（9分）

（3）连接GF
∵AE是正方形ADEF的对角线
∴∠FAE=∠DAE=45°
又AD=AF，AG=AG
∴△AFG≌△ADG
∴FG=DG（10分）
若Rt△CFG是等腰三角形，则CG=CF
设CF=x，得CG=CF=BD=x
①如图1，当BD＜1时，FG=DG=2-2x
在Rt△CFG中，根据勾股定理得
FG²=CG²+CF²
∴（2-2x）²=2x²
解得：x₁=2+＞1（舍去），x₂=2-（12分）

②如图2，当BD＞1时，∵CG=BD
∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，根据勾股定理得
FG²=CG²+CF²，2²=2x²
解得：x₁=-（舍去），x₂=
综上所得，当BD等于2-或时，△CFG是等腰三角形（14分）
点评：本题是一道综合性很强的题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，注意分类思想的使用．