Question

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C是直角，直线NM过点C，BP⊥MN于P，AQ⊥MN于Q，BP=3，AQ=4，求PQ的长．

Answer 1

分析：首先根据题目的已知条件可以证明△ACQ≌△CBP，然后利用全等三角形的性质可以得到BP=CQ，AQ=CP然后结合图形即可求出PQ的长．

解答：解：有两种情况：
①当直线MN与△ABC相交，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C是直角，
∴AC=BC，
又BP⊥MN于P，AQ⊥MN于Q，
∴∠ACQ+∠BCP=∠BCP+∠CBP=90°，∠AQC=∠CPB=90°
∴∠ACQ=∠CBP，
∴△ACQ≌△CBP，
∴BP=CQ，AQ=CP，
∴PQ=PC-CQ，
而BP=3，AQ=4，
∴PQ=1；
②当直线MN与△ABC不相交，如右图，根据①得到
△ACQ≌△CBP，
∴BP=CQ，AQ=CP，
∴PQ=PC+CQ，
而BP=3，AQ=4，
∴PQ=7．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，首先利用等腰直角三角形的性质得到全等条件，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．