Question

在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．

（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．

Answer 1

（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可。
（2）

分析：（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可。
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案。
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD。∴∠ABD=∠CDB。
∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB。∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，∵，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。∴AE=CF。
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC。
∴DE=BF，DE∥BF。∴四边形BFDE为平行四边形。
（2）∵四边形BFDE为为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE。
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°。∴∠ABE=30°。
∵∠A=90°，AB=2，∴，。
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=。