Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．

（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形。∴AG=DC。
∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE=AG，DF=DC，即GE=DF，GE∥DF。
∴四边形DEGF是平行四边形。
（2）连接DG，

∵四边形AGCD是平行四边形，∴AD=CG。
∵G为BC中点，∴BG=CG=AD。
∵AD∥BG，∴四边形ABGD是平行四边形。
∴AB∥DG。
∵∠B=90°，∴∠DGC=∠B=90°。
∵F为CD中点，∴GF=DF=CF，即GF=DF。
∵四边形DEGF是平行四边形，∴四边形DEGF是菱形。

试题分析：（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可。
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可。