Question

在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

Answer 1

（1）AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是。
（2）当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB。

分析：（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长。
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系。
解：（1）延长PE交CD的延长线于F，

设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，。
∵Rt△APE中，∠A=60°，
∴∠PEA=30°。
∴AE=2x，PE=。
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，∴DF=DE=4﹣x。
∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD。
∴S_△CPE=PE•CF。
∴。
∵，∴当x=5时，y有最大值。
∴AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是。
（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°。
∵∠ADC=120°，∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°。
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形。
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE。
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，∴。
∴CM= CD。∴CE=CD。
∵BC=CE，AB=CD，∴BC=AB。
∴当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB。