Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＞DC，若腰DC上有点P，使AP⊥BP，则这样的点

1. A.
   不存在
2. B.
   只有一个
3. C.
   只有两个
4. D.
   有无数个

Answer 1

C
分析：由题意可得使AP⊥BP的点P在以AB为直径的圆上，根据圆与BC的位置关系即可得解．
解答：解：这样的点有2个．
∵AP⊥BP，
∴P在以AB为直径的圆上，令圆心为O．
∵CD切⊙O于点P，
∴OP⊥CD，
∴P是CD上离点O最近的点．
∵AD∥BC、∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴AD切⊙O于点A、BC切⊙O于点B，
∴由切线长定理得：AD=DP、BC=CP，
∴AD+BC=DP+CP=DC．
∴当AD+BC=DC时，⊙O与CD相切．
于是：
当AD+BC＜DC时，可理解为将DC由与⊙O相切时的位置向圆心方向平移，这样，⊙O与DC就相交．
当AD+BC＞DC时，可理解为将DC由与⊙O相切时的位置背圆心方向平移，这样，⊙O与DC就相离．
∴有两个交点．
故选C．
点评：本题考查了直角梯形的性质、圆与直线的位置关系，是一道考查学生综合知识运用能力的中档题．