Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O₁称为第1次操作，作∠O₁DC、∠O₁CD的平分线交于点O₂称为第2次操作，作∠O₂DC、∠O₂CD的平分线交于点O₃称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO₅D的度数是175°．

Answer 1

分析 先根据∠ADC、∠BCD的平分线交于点O₁，得出∠O₁DC+∠O₁CD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DCB），再根据∠O₁DC、∠O₁CD的平分线交于点O₂，得出∠O₂DC+∠O₂CD=$\frac{1}{{2}^{2}}$（∠ADC+∠DCB），根据规律可得到∠O₅DC+∠O₅CD=$\frac{1}{{2}^{5}}$（∠ADC+∠DCB），最后将∠ADC+∠DCB=160°代入计算即可．

解答 解：如图所示，∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O₁，
∴∠O₁DC+∠O₁CD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DCB），
∵∠O₁DC、∠O₁CD的平分线交于点O₂，
∴∠O₂DC+∠O₂CD=$\frac{1}{2}$（∠O₁DC+∠O₁CD）=$\frac{1}{{2}^{2}}$（∠ADC+∠DCB），
同理可得，∠O₃DC+∠O₃CD=$\frac{1}{2}$（∠O₂DC+∠O₂CD）=$\frac{1}{{2}^{3}}$（∠ADC+∠DCB），
由此可得，∠O₅DC+∠O₅CD=$\frac{1}{2}$（∠O₄DC+∠O₄CD）=$\frac{1}{{2}^{5}}$（∠ADC+∠DCB），
∴△CO₅D中，∠CO₅D=180°-（∠O₅DC+∠O₅CD）=180°-$\frac{1}{{2}^{5}}$（∠ADC+∠DCB），
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO₅D=180°-$\frac{1}{{2}^{5}}$×160°=180°-5°=175°，
故答案为：175°．

点评 本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠CO₅D与∠ADC+∠DCB之间的关系．