Question

6．如图，正方形ABCD和等腰直角△AMN，直角顶点M在对角线BD上运动，点N在BC上，过点N作NE∥CD交BD于点E，
（1）当点M和点B重合时，EM和DM相等吗？若相等请证明．
（2）当点M在对角线BD上时，（1）中的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（3）当点M运动到BD的延长线上时，（1）中的结论成立吗？不用说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，证明△ENM≌△MAD，再利用全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）延长NM交CD的延长线于H，连接AH．，证明△ENM≌△DHM，再利用全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）延长NM交CD的延长线于F，连接AF，证明△ENM≌△DFM，再利用全等三角形的性质，即可得出结论．

解答 （1）答：EM=DM；
证明：∵正方形ABCD和等腰直角△AMN，
∴∠ADM=∠NME=45°，AD=AM=MN，
∵NE∥CD，
∴NE∥AM，
∴∠ENM=∠AMN=∠MAD=90°，
在△ENM和△MAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=NME}\\{AD=NM}\\{∠MAD=∠ENM}\end{array}\right.$，
∴△ENM≌△MAD（ASA），
∴EM=DM；

（2）成立，
证明：如图2，延长NM交CD的延长线于H，连接AH，

∵∠AMH=90°，∠ADH=90°，
∴A、M、D、H四点共圆，
∴∠AHM=∠ADM=45°，
∴∠AHM=∠ANM，
∴HM=NM，
∵NE∥CD，
∴∠ENM=∠DHM，
在△ENM和△DHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENM=∠DHM}\\{NM=HM}\\{∠EMN=∠DMH}\end{array}\right.$
∴△ENM≌△DHM，
∴EM=DM；

（3）成立．
证明：如图3，延长NM交CD的延长线于F，连接AF，

∵∠AMF=90°，∠ADF=90°，
∴A、D、M、F四点共圆，
∴∠DAM=∠DFM，∠AMD=∠AFD，
∵∠DAM+∠AMD=∠ADB=45°，
∴∠AFD+∠DFM=45°，
又∵AM⊥NF，
∴FM=MN，
∵NE∥CD，
∴∠ENM=∠DFM，
在△ENM和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENM=∠MFD}\\{FM=MN}\\{∠EMN=∠DMF}\end{array}\right.$，
∴△ENM≌△DFM，
∴EM=DM．

点评 本题考查的是四边形的综合应用，掌握正方形、等腰直角三角形的性质是解题的关键，正确作出辅助线，证明三角形全等是重要环节，需要学生思考到位．