如图1.已知抛物线C1:y=ax2+bx+c与x轴交于A.B(6.0)两点.与y轴正半轴交于点C.且tan∠ABC=$\frac{4}{3}$．(1)求该抛物线C1的解析式,(2)如图1.点P是x轴上方的抛物线上的一动点.连接PB.PC.设所得△PBC的面积为S．若△PBC的面积S为整数.则这样的△PBC共有多少个?请说明理由．(3)如图2.将原抛物线C1绕着某点旋转180� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图1，已知抛物线C₁：y=ax²+bx+c与x轴交于A（-$\frac{16}{3}$，0），B（6，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且tan∠ABC=$\frac{4}{3}$．
（1）求该抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有多少个？请说明理由．
（3）如图2，将原抛物线C₁绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C₂的顶点为坐标原点，点F（0，1），点Q是y轴负半轴上一点，过Q点的直线PQ与抛物线C₂在第二象限有唯一公共点P，过P分别作PG⊥PQ交y轴与G，PT∥y轴，求证：∠TPG=∠FPG．

分析（1）先利用∠ABC的正切值求出OC的长，得到点C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：①点P在y轴的左侧，②点P在y轴的右侧，分别求出S的取值范围，然后结合S为整数，找出点P的个数，即可得出答案；
（3）先利用二次函数的图象与几何变换得出抛物线C₂的解析式，并设P（m，$\frac{1}{4}$m²），直线PQ的解析式为y=kx+n（k≠0），根据直线PQ与抛物线有一个交点求得n=-k²，然后用k表示点P、Q、G的坐标，得到GF=FQ，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质和平行线的性质进行推理即可．

解答解：（1）由B（6，0）可得OB=6，
∵tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OC}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴OC=8，点C的坐标为（0，8），
∵点A、B、C三点在抛物线C₁上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{256}{9}a-\frac{16}{3}b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{6}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₁的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{6}$x+8；
（2）①当点P在y轴的左侧时，此时点P的横坐标x满足-$\frac{16}{3}$＜x＜0，
若P与点A重合，则△PBC的面积为S=$\frac{1}{2}$×（$\frac{16}{3}$+6）×8=45$\frac{1}{3}$，
∴S的取值范围是0＜S＜45$\frac{1}{3}$，
∵S为整数，
∴S可取的值为1，2，…45，共45个，
又∵点P的横坐标x满足-$\frac{16}{3}$＜x＜0，
∴点P有45个位置，
∴点P在y轴的左侧且△PBC的面积S为整数时，△PBC有45个；
②当点P在y轴的右侧时，此时点P的横坐标x满足0＜x＜6，
如图，连接OP，
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²+x+8），
∴S=S_△PCO+S_△POB-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$×8•x+$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）-$\frac{1}{2}$×6×8
=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+6$\frac{3}{4}$，
∴S的取值范围是0＜S＜6$\frac{3}{4}$，
∵S为整数，
∴S可取的值为1，2，…6，共6个，
又∵点P的横坐标x满足0＜x＜6，
∴点P有12个位置，
∴点P在y轴的右侧且△PBC的面积S为整数时，△PBC有12个；
综合①、②可知，这样的△PBC共有45+12=57个；
（3）∵抛物线C₁绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C₂的顶点为坐标原点，
∴新抛物线C₂的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，
设P（m，$\frac{1}{4}$m²），直线PQ的解析式为y=kx+n（k≠0），
由点Q是y轴负半轴上一点，过Q点的直线PQ与抛物线C₂在第二象限有唯一公共点P，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx+n}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{4}$x²-kx+n=0，
∴△=（-k）²-4×$\frac{1}{4}$×（-n）=0，∴n=-k²，
∴直线PQ的解析式为y=kx-k²，P（2k，k²），Q（0，-k²），
设直线PG的解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+p，将P的坐标代入可得p=k²+2，则G（0，k²+2），
∴GF=k²+1，FQ=k²+1，
∴GF=FQ，即点F是Rt△GPQ斜边上的中点，
∴FP=FG，
∴∠FPG=∠FGP，
又∵PT∥y轴，
∴∠TPG=∠FGP，
∴∠TPG=∠FPG．

点评本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想，方程思想，分类讨论思想的应用．

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