Question

14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=4，BC=7，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC、PN的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）当t为何值时，四边形PCDQ构成等腰梯形？
（4）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先判定四边形ABNQ是矩形，得出BN=AQ=4-t，则NC=BC-BN=7-（4-t）=t+3，PN=BN-BP=（4-t）-t=4-2t；
（2）因为四边形PCDQ是平行四边形，得出QD=CP，由此建立关于t的方程求得答案即可；
（3）因为四边形PCDQ构成等腰梯形，得出QP=CD，且QD≠CP，由勾股定理分别求得QP和CD，进一步建立方程求得答案即可；
（4）分别由射线QN恰好将梯形ABCD的面积平分和射线QN恰好将梯形ABCD的周长平分建立方程求得t的数值，如果t的值相等，则存在，否则就不存在．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，QN⊥BC，
∴四边形ABNQ是矩形，
∴BN=AQ=4-t，NC=BC-BN=7-（4-t）=t+3，PN=BN-BP=（4-t）-t=4-2t；
（2）∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD∥CP，QD=CP，
∴t=7-t，
解得：t=3.5，
即当t=3.5时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）∵四边形PCDQ构成等腰梯形，
∴QP=CD，且QD≠CP，
∴PN²+QN²=QN²+（BC-AD）²=4+（7-4）²=25，
即（4-2t）²+4²=25，
解得：t=0.5或t=3.5（这时QD=CP，不合题意，舍去）
所以当t=0.5时，四边形PCDQ构成等腰梯形；
（4）不存在．
理由：当射线QN恰好将梯形ABCD的面积平分时，
AB•BN=$\frac{1}{2}$（QD+CN）•AB，
即4-t=$\frac{1}{2}$×（t+3）
解得：t=$\frac{5}{3}$，
当射线QN恰好将梯形ABCD的周长平分时，
2（AB+BN）=NC+CD+DQ+QN，
即2（4+4-t）=t+3+5+t+4，
解得：t=1，
两个数值不相等，所以不存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分．

点评 此题综合考查了梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的运用，掌握基本性质定理是解决问题的关键．