【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角△AOB的斜边OB在x上,顶点A的坐标为(3,3).
(1)求直线OA的解析式;
(2)如图2,如果点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作PC∥y轴,交直线OA于点C,设点P的坐标为(m,0),以A、C、P、B为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)如图3,如果点D(2,a)在直线AB上. 过点O、D作直线OD,交直线PC于点E,在CE的右侧作矩形CGFE,其中CG=,求矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析:(1)设直线OM的解析式为y=kx(k≠0),根据A(3,3)在直线OA上,得到k=1,即直线OA的解析式y=x.
(2)过点A作AM⊥x轴于点M.已知A点的坐标,即可求出M(3,0),B(6,0),P(m,0),C(m,m),欲求以A、C、P、B为顶点的四边形的面积,需要分情况考虑:①0<m<3时,②3<m<6时,③m>6时,根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法,可求出不同的自变量取值范围内,S、m的函数关系式;
(3)根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质,即可求出m的范围.
试题解析:(1)设直线OA的解析式为y=kx.
∵直线OA经过点A(3,3),
∴3=3k,解得 k=1.
∴直线OA的解析式为y=x.
(2)过点A作AM⊥x轴于点M.
∴M(3,0),B(6,0),P(m,0),C(m,m).
当0<m<3时,如答图①.
答图① |
S=S△AOB﹣S△COP
=AMOB﹣OPPC
=.
当3<m<6时,如答图②.
答图② |
S=S△COB﹣S△AOP
=PCOB﹣OPAM
=.
当m>6时,如答图③.
答图③ |
S=S△COP﹣S△AOB
=PCOP﹣OBAM
=.
(3)当C在直线OA上,G在直线AB上时,矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形,此时m=,
当m=3时C点和A点重合,则矩形CGFE与△AB无重叠部分
所以m的取值范围时≤m<3.
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