Question

18．如图，△ABC内接于⊙O，OB=5，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$
（1）求BC的值；
（2）若AB=BC，AD平分∠BAC交OB于I，交⊙O于D，连接BD，求IB的长度．

Answer 1

分析 （1）延长BO交⊙O于E，连接EC，根据圆周角定理得出∠BCE=90°，∠BAC=∠BEC，然后通过解直角三角函数即可求得；
（2）作OF⊥AC，根据垂径定理求得OF是AC的垂直平分线，根据等腰三角形的性质求得B在AC的垂直平分线上，从而求得BF⊥AC，解直角三角函数求得BF、AF，然后作IG⊥AB于G，根据角的平分线的性质得出AG=AF=，IG=IF，设IG=IF=x，根据勾股定理即可求得结果．

解答 解：（1）延长BO交⊙O于E，连接EC，
∵BE是直径，
∴∠BCE=90°，
∵∠BAC=∠BEC，
∵OB=5，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴BE=10，sin∠BEC=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BEC=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴BC=$\frac{4}{5}$×10=8；
（2）作OF⊥AC，
∴AF=CF，
∴OF是AC的垂直平分线，
∵AB=BC，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴B在直线OF上，
∴BF⊥AC，
∵AB=BC=8，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴BF=$\frac{4}{5}$×8=$\frac{32}{5}$，AF=$\frac{3}{5}$×8=$\frac{24}{5}$，
作IG⊥AB于G，
∵AD平分∠BAC，
∴AG=AF=$\frac{24}{5}$，IG=IF，
设IG=IF=x，则IB=$\frac{32}{5}$-x，
∵BG=AB-AG=8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∵BG²+IG²=IB²，
∴（$\frac{16}{5}$）²+x²=（$\frac{32}{5}$-x）²，解得x=$\frac{12}{5}$，
∴TB=$\sqrt{B{G}^{2}+I{G}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{16}{5}）}^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=4．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角函数，角平分线的性质以及勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．