Question

6．如图，抛物线y=ax²+2ax+c（a≠0）交x轴于点A（-3，0）与点B，与y轴交于点C，tan∠ABC=3，双曲线$y=\frac{k}{x}（k≠0）$经过抛物线的顶点D．
（1）求该抛物线与双曲线的解析式；
（2）已知点E（n，1）在双曲线上，求△BDE的面积；
（3）在双曲线上取一点F，在x轴上取一点G，若由C、D、F、G四点为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数值，可用C点坐标表示B点坐标，根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据顶点坐标公式，可得D点坐标，根据待定系数法，可得双曲线的解析式；
（2）根据待定系数法，可得DE的解析式，根据自变量的值，可得F点坐标，根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）分类讨论：以FC为对角线；以DF为对角线；以DC为对角线；根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行线的k值相等，可得关于a、b的方程组，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）设C点坐标为（0，c），B点坐标为（$\frac{c}{3}$，0），
将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{\frac{a{c}^{2}}{9}+\frac{2ac}{3}+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
抛物线的顶点坐标D为（-1，4）．
设双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$，将抛物线的定点坐标为（-1，4），得
k=-4，
双曲线的解析式为y=-$\frac{4}{x}$；
（2）当y=1时，1=-$\frac{4}{x}$，解得x=-4，即E（-4，1）．
设DE的解析式为y=kx+b，将D、E点坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=5}\end{array}\right.$．
DE的解析式为y=x+5．
当y=0时，x+5=0，解得x=-5，即F（-5，0）如图1：
．
S_△BDE=S_△BDF-S_△BEF=$\frac{1}{2}$[1-（-5）]×4-$\frac{1}{2}$[1-（-5）]×1=9；
（3）设F（a，-$\frac{4}{a}$），M（b，0），如图2：
，
以FC为对角线，得$\left\{\begin{array}{l}{CD∥FM}\\{DF∥CM}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-\frac{4}{a}}{a-b}=\frac{0-（-1）}{3-4}①}\\{\frac{-\frac{4}{a}-4}{a+1}=\frac{0-3}{b-0}②}\end{array}\right.$，
化简①得b=$\frac{{a}^{2}-4}{a}$ ③，
把③代入②并整理，得a³+a²-16a-16=0，
解得a₁=-1（不符合题意要舍去），a₂=4，a₃=-4，
当a₂=4时，b=$\frac{{4}^{2}-4}{4}$=3，即M₂（3，0），
当a₃=-4时，b=$\frac{（-4）^{2}-4}{-4}$=-3，即M₁（-3，0）；
以DF为对角线，平行四边形不存在；
以DC为对角线的平行四边形不存在，
综上所述：M（3，0），（-3，0）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用三角形面积的和差求三角形的面积，利用平行四边形的判定，消元解方程组是解题关键．