Question

8．抛物线y₁=x²+bx+c与直线y₂=-2x+m相交于A（-2，n）、B（2，-3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若-4≤x≤1，则y₂-y₁的最小值为-12．

Answer 1

分析 （1）把B的坐标代入直线y₂=-2x+m求得m的值，然后代入A（-2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求得y₂-y₁=-x²+4，然后代入x=-4和x=1，求得函数值，即可求得最小值．

解答 解：（1）∵直线y₂=-2x+m经过点B（2，-3），
∴-3=-2×2+m．
∴m=1．
∵直线y₂=-2x+m经过点A（-2，n），
∴n=4+1=5；
∵抛物线y₁=x²+bx+c过点A和点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=4-2b+c}\\{-3=4+2b+c}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴y₁=x²-2x-3．
（2）y₂-y₁=-2x+1-（x²-2x-3）=-x²+4，
∴y₂-y₁的最大值是4，
代入x=-4得y₂-y₁=-12，代入x=-1得y₂-y₁=-3，
∴若-4≤x≤1，y₂-y₁的最小值为-12．
故答案为-12．

点评 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．