Question

10．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：
①AE=CF，②∠APE=∠CPF，③△EPF是等腰直角三角形，④EF=AP．
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有①②③．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的性质可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°．
∴∠APF+∠CPF=90°．
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°．
∴∠APE=∠CPF，故②正确
在△APE和△CPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠CPF}\\{AP=PC}\\{∠EAP=∠C=45°}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA）．
∴AE=CF，故①正确．
∴△EFP是等腰直角三角形，故③正确．
根据等腰直角三角形的性质，EF=$\sqrt{2}$PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=$\sqrt{2}$PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．