Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，连接GB，交AF于N，且FN=FD．
（1）求证：△GFN≌△GFD；
（2）如图1，连接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求证：AN=AB；
（3）如图2，延长AF、BC交于点E，过B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB与KF之间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠NFG=∠GFD，由SAS证明△GFN≌△GFD即可；
（2）连接AC，由等腰直角三角形的性质得出∠FDN=45°，由线段垂直平分线的性质得出AC=AD，证出∠CAD=30°，由SAS证明△ADN≌△ACB，得出对应边相等即可；
（3）取AB中点H，连接HF、HK，由直角三角形斜边上的中线性质得出HK=$\frac{1}{2}$AB=AH，得出∠HAK=∠HKA，证明△AFD∽△EFC，得出对应边成比例，证出AF=EF，证明HF为△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出HF∥BE，得出∠HFK=∠E，由角的关系得出∠HFK=∠FHK，得出HK=KF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵FG平分∠AFD，
∴∠NFG=∠GFD，
在△GFN和△GFD中，$\left\{\begin{array}{l}{FN=FD}\\{∠NFG=∠GFD}\\{FG=FG}\end{array}\right.$，
∴△GFN≌△GFD（SAS）；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵AF⊥CD，FN=FD，
∴△DFN为等腰直角三角形，
∴∠FDN=45°，
∵∠ADC=75°，
∴∠ADN=∠ADC-∠FDN=75°-45°=30°，
在Rt△AFD中，∠FAD=90°-75°=15°
∵AF垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠CAD=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=30°，
∴∠ADN=∠BCA，
在△ADN和△ACB中，$\left\{\begin{array}{l}{ND=BC}\\{∠ADN=∠BCA}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ACB（SAS），
∴AN=AB；
（3）解：AB与KF之间有何数量关系为：AB=2KF；理由如下：
取AB中点H，连接HF、HK，如图2所示：
∵在Rt△AKB中，H为AB中点，
∴HK=$\frac{1}{2}$AB=AH，
∴∠HAK=∠HKA，
∵∠BAF=2∠E，
∴∠HKA=2∠E，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFC，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{DF}{CF}$=1，
∴AF=EF，
∵H为AB中点，
∴HF为△ABE的中位线，
∴HF∥BE，
∴∠HFK=∠E，
∴∠HKA=2∠HFK，
∵∠HKA=∠HFK+∠FHK，
∴2∠HFK=∠HFK+∠FHK，
∴∠HFK=∠FHK，
∴HK=KF，
∵HK=$\frac{1}{2}$AB，
即AB=2HK，
∴AB=2KF．

点评 本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）和（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等，运用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质才能得出结论．