Question

17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）△ABC与△FCD相似吗？请说明理由．
（2）点F是线段AD的中点吗？为什么？
（3）若S_△ABC=20，BC=10，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质可知BE=EC，从而可知∠ABC=∠FCD，然后由AD=AC可知∠ACB=∠FDC，从而可证明△ABC与△FCD相似；
（2）由相似三角形的性质可知DF：AC=1：2，由AC=AD，从而得到DF=$\frac{1}{2}AD$；
（3）过点A作AG⊥BC，由三角形的面积公式求得AG的长，然后根据△BED相似△BAG求解即可．

解答 解：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=EC．
∴∠ABC=∠FCD．
∵AD=AC，
∴∠ACB=∠FDC．
∴△ABC∽△FCD．
（2）∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
∴DF=$\frac{1}{2}AC$．
∵AD=AC，
∴$DF=\frac{1}{2}AD$．
∴点F是AD的中点．
（3）过点A作AG⊥BC，垂足为G．

∵S_△ABC=20，BC=10，
∴AG=4．
∵D是BC的中点，
∴DB=DC=5．
∵AD=AC，AG⊥DC，
∴DG=DC=2.5．
∵ED⊥BC，AG⊥BC，
∴DE∥AG．
∴$\frac{DE}{AG}=\frac{BD}{BG}$，即$\frac{DE}{4}=\frac{2}{3}$．
解得：DE=$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．