Question

如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证：EO=FO

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）当O为AC中点时

【解析】

试题分析：（1）由MN∥BC可得∠BCE=∠CEO，再结合∠BCE=∠ECO可得OE=OC，同理OC=OF，即可证得结论；

（2）先根据对角线互相平分的四边形的证得AECF为平行四边形，再根据CE、CF为△ABC内外角的平分线可得∠EOF=90°，即可证得结论.

（1）∵MN∥BC，

∴∠BCE=∠CEO

又∵∠BCE=∠ECO

∴∠OEC=∠OCE

∴OE=OC,同理OC=OF

∴OE=OF；

（2）当O为AC中点时，AECF为矩形

∵EO=OF，OA=OC

∴AECF为平行四边形

又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线

∴∠EOF=90°，

∴AECF为矩形.

考点：本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定

点评：解答本题的关键熟练掌握邻补角的平分线互相垂直，一个角是直角的平行四边形是矩形.