Question

如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中∠ACB=∠A₁C₁B₁=∠A₂C₂B₂=90°，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2．
（1）求证：△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂；
（2）若△ABC、△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂的面积分别标记为S、S₁、S₂，猜想S、S₁、S₂之间的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据面积之比可得

A1C1

C1B1

=

A2C2

C2B2

=

1

2

=

2

2

，再加上夹角相等可得△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂；
（2）根据面积之比设A₁C₁=x，C₁B₁=

2

x，A₂C₂=y，C₂B₂=

2

y，然后表示出S、S₁、S₂，再根据三者的面积可得S₁•S₂=

9

2

S²．

解答：（1）证明：∵正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2，
∴

A1C1

C1B1

=

A2C2

C2B2

=

1

2

=

2

2

，
∵∠A₁C₁B₁=∠A₂C₂B₂=90°，
∴△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂；

（2）解：∵正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2，
∴设A₁C₁=x，C₁B₁=

2

x，A₂C₂=y，C₂B₂=

2

y，
∴S₁=

1

2

•x•

2

x=

2

2

x²，S₂=

1

2

•y•

2

y=

2

2

y²，A₁B₁=

3

x，A₂B₂=

3

y，
∴S₁•S₂=

1

2

x²y²，S=

3

2

xy，
∴S₁•S₂=

9

2

S²．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，关键是正确表示出S、S₁、S₂．