Question

如图，等腰△ABC的顶角A的度数是36°，点D是腰AB的黄金分割点（AD＞BD），将△BCD绕着点C按照顺时针方向旋转一个角度后点D落在点E处，联结AE，当AE∥CD时，这个旋转角是

 

度．

Answer 1

考点：旋转的性质,黄金分割

专题：

分析：先证出点D是腰AB的黄金分割点时，CD是∠ACB的平分线，当AE∥CD时，分两种情况，利用图形解出旋转角为72°或108°．

解答：解：假设CD为∠ACB的平分线，
∵∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴BC=DC=AD，
∴△CDB∽△ABC，
∴

BC

AB

=

DB

BC

，
∴AD：AB=DB：AD，
点D是腰AB的黄金分割点，
∴CD是∠ACB的平分线，
①如图1，

∵AE∥CD时，
∴∠EAC=∠ACD=36°，
∴EC∥AD，
∵AD=CD
∴四边形ADCE是菱形．
∴此时这个旋转角72°
②如图2，

∵AE∥CD时，
∴∠EAC=∠ACD=36°，
∴B′C∥AD，
∵AD=CD
∴四边形ADCB′是菱形．
∴∠B′CD=72°，
∴∠EB′C=72°，∠B′EC=72°，
∴此时这个旋转角36°+36°+36°=108°，
故答案为：72或108．

点评：本题主要考查了旋转的性质及黄金分割，解题的关键是求出CD为∠ACB的平分线．