Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：AE＝AF；

（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

证明：（1）连接OD，

∵BC切⊙O于点D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠F，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠OED＝∠F，

∴AE＝AF；

（2）∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC，

∴，

∵AE＝5，AC＝4，

即，

∴BE＝．