Question

13．若关于x的方程x²+（2a-1）x+a²-1=0的两根是x₁、x₂，且（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）+21=0，则a的值为-5．

Answer 1

分析 首先根据方程有两个根求出a的取值范围，然后根据根与系数的关系把（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）+21=0转化为a²+3a-10=0，最后解一元二次方程求出a的值．

解答 解：∵x²+（2a-1）x+a²-1=0的两根是x₁、x₂，
∴△=（2a-1）²-4（a²-1）=-4a+5≥0，
∴a≤$\frac{5}{4}$，
∴x₁+x₂=1-2a，x₁x₂=a²-1，
∵（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）+21=0，
∴3x₁²-10x₁x₂+3x₂²+21=0，
∴3（x₁+x₂）²-16x₁x₂+21=0，
∴3（1-2a）²-16（a²-1）+21=0，
∴a²+3a-10=0，
∴a₁=-5，a₂=2，
∵a≤$\frac{5}{4}$，
∴a=-5，
故答案为-5．

点评 本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是能根据根与系数的关系把（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）+21=0转化为a的一元二次方程，此题难度不大．