Question

在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx²-x+n的对称轴是直线x=2．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：
①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．
②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=mx²-x+n经过原点，∴n=0．
∵对称轴为直线x=2，∴-=2，解得m=．
∴抛物线的解析式为：y=x²-x．

（2）①的值不变．理由如下：
如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF．
在Rt△PAE与Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽Rt△PGF．
∴==．
②存在．
抛物线的解析式为：y=x²-x，
令y=0，即x²-x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）．
又y=x²-x=（x-2）²-1，∴顶点M坐标为（2，-1）．
若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）FM=FD．如答图2所示：

过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，MD===．
设FM=FD=x，则NF=ND-FD=2-x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，
即：（2-x）²+1=x²，解得：x=，
∴FD=，OF=OD-FD=4-=，
∴F（，0）；
（II）若FD=DM．如答图3所示：

此时FD=DM=，∴OF=OD-FD=4-．
∴F（4-，0）；
（III）若FM=MD．
由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合．
而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O．
∴此种情形不存在．
综上所述，存在点F（，0）或F（4-，0），使△DMF为等腰三角形．
分析：（1）根据①过原点，②对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式；
（2）①如答图1所述，证明Rt△PAE∽Rt△PGF，则有==，的值是定值，不变化；
②若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
点评：本题是二次函数综合题型，难度不大．试题的背景是图形的旋转，需要对旋转的运动过程有清楚的理解；第（3）问主要考查了分类讨论的数学思想，需要考虑全面，避免漏解．