Question

7．如图，△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，延长CB至D，使BD=$\frac{1}{2}$BC．
（1）用尺规作图的方法，过E点作EF⊥DC，垂足是点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：DF=CF．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥BC于点F即可；
（2）根据等边三角形的性质得出CE⊥AB，BE=$\frac{1}{2}$AB，再由BD=$\frac{1}{2}$BC可得出BD=BE，故可得出∠D=30°，在Rt△BCE中可得出∠BCE=30°，故可得出结论．

解答 （1）解：如图，EF即为所求；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，BE=$\frac{1}{2}$AB，∠ABC=60°，
∵BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=BE，
∴∠D=∠BED=30°．
在Rt△BCE中，
∵∠CEB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BCE=30°，
∴DE=CE．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知过直线外一点作直线垂线的方法及等边三角形的性质是解答此题的关键．