Question

15．在10×10的网格中，每个小正方形的边长为1．
如图1，等腰直角三角形ACB与ACD的顶点都在网格点上，点M，N分别在线段AD，AB上，且AM=BN，则CM+CN的最小值为4$\sqrt{2}$，
如图2，等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，点M，N分别在线段ED，AB上，且EM=BN，则CM+CN的最小值为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 ①先证明△BNC≌△AMC得△NCM是等腰直角三角形，即CM+CN的最小值，就是MN最小值的值，当点M，N分别在线段AD，AB的中点时，MN最小，求出此时的值即可；
②如图3，作辅助线，构建与△ACB全等的△EGH，将CM与CN两条线段利用相等线段，放在同一个三角形EGH中，利用作对称点的方法找到最小值时点M的位置，即PC与DE的交点就是最小值时的点M，根据线段垂直平分线的性质可知：CM+CN=CM+MG=CM+PM=PC，这里要利用△ANC≌△HMG，证明CN=GM，所以CM+CN就是PC的长，利用勾股定理可计算得出．

解答 解：①如图1，连接AC，
∵三角形ACB与ACD是等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAM=45°，AC=BC，
在△BNC和△AMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BN=AM}\\{∠B=∠CAM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△AMC（SAS），
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠BCN+∠NCA=∠ACM+∠NCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°，
∴△NCM是等腰直角三角形，
即点M，N分别在线段AD，AB上，且AM=BN时，
△NCM是等腰直角三角形，
因此CM+CN的最小值时，就是MN取最小值，
当点M，N分别在线段AD，AB的中点时，MN最小，
如图2，∵M，N分别在线段AD，AB的中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=CN=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
此时，CM+CN=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
则CM+CN的最小值为4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$；
②如图3，由已知得：AC=BC=4，EC=DC=2，
延长EC至G，使EG=AC=4，过G作GH⊥AG，交ED的延长线于H，连接GD并延长至P，使GD=DP，连接EP、CP，CP交ED于M，连接GM，
则△ACB≌△EGH，此时CM+MG为最小，
∴AC=GH，AB=EH，∠A=∠H=45°，
∵BN=EM，
∴AN=HM，
∴△ANC≌△HMG，
∴CN=GM，
∴CM+MG=CM+CN，
∵CD∥GH，EC=CG，
∴ED=DH，
∵EG=GH，
∴GP⊥EH，
∴EH是PG的中垂线，
∴EG=EP，MG=PM，
∴∠EGP=∠EPG=45°，
∴∠GEP=90°，
∴CM+MG=CM+PM=PC，
在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{P{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CM+CN=PC=2$\sqrt{5}$，
即则CM+CN的最小值为2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题是最短路线问题，考查了格点三角形、等腰直角三角形的性质和判定、轴对称的性质，第2问比较复杂，想办法通过辅助线将所求线段的和转化到同一个三角形内，利用作对称点的方法，才能使问题得以解决．