Question

16．如图1，△ABC是边长为8cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以acm/s的速度运动，点E从C点出发沿C→B方向在线段CB上以bcm/s的速度运动，D，E两点同时出发，运动时间为ts，当点D到达点A后，D，E两点停止运动．
（1）如图2，若a=b=1，连接AE，CD，相交于点F，连BF
①求∠AFC的度数；
②当AF=2CF时，求t的值
（2）如图3，若a=2，b=1，连接DE，以DE为边作等边△DEM，使M，B在DE的两侧，点O为AC的中点，连接OM，求OM的最小值．

Answer 1

分析 （1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；
②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，根据△FAG是等边三角形，△ABC是等边三角形，即可判定△AGB≌△AFC，从而得出∠BGF=∠EFC=60°，得到EF∥GB，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$，再根据AF=2CF，CE=t，BC=8，得出GF=2CF，BE=8-t，进而得到$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$，解得t=$\frac{8}{3}$即可；
（2）连接AM，过D作DH⊥BC于H，根据SAS判定△ADM≌△HED，进而得出∠DAM=∠EHD=90°，而∠DAO=60°，可得∠OAM=90°-60°=30°，因此当OM⊥AM时，OM最短，此时，OM=$\frac{1}{2}$AO，故OM的最小值为2．

解答 解：（1）①如图1，当a=b=1时，BD=CE=t，
∵△ABC是边长为8cm的等边三角形，
∴CB=AC，∠CBD=∠ACE=60°，
在△BDC和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠CBD=∠ACE}\\{CB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA（SAS），
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∴∠AFC=120°；

②如图2，延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，
∵∠AFG=∠EFC=60°，FG=FA，
∴△FAG是等边三角形，
∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠GAF=∠BAC=60°，
∴∠GAB=∠FAC．
在△AGB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AFC（SAS），
∴∠AGB=∠AFC=120°，
∴∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠EFC=60°，
∴EF∥GB，
∴$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$，
又∵AF=2CF，CE=t，BC=8，
∴GF=2CF，BE=8-t，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$，
解得t=$\frac{8}{3}$，
∴当AF=2CF时，t的值为$\frac{8}{3}$；

（2）如图3，连接AM，过D作DH⊥BC于H，
∵当a=2，b=1时，BD=2t，CE=t，而∠B=60°，AB=8，
∴BH=t，AD=8-2t，HE=8-t-t=8-2t，
∴DA=EH，
∵△DEM是等边三角形，
∴DE=MD，∠EDM=60°，
∴∠ADM+∠BDE=∠HED+∠BDE=120°，
∴∠ADM=∠HED，
在△ADM和△HED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=EH}\\{∠ADM=∠HED}\\{MD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△HED（SAS），
∴∠DAM=∠EHD=90°，而∠DAO=60°，
∴∠OAM=90°-60°=30°，
∴当OM⊥AM时，OM最短，
∵点O为AC的中点，
∴AO=4，
此时，OM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2．
故OM的最小值为2．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及含30°角 的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推导计算．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．