Question

15．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C按逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得△DEC．设CD交AB于点F，当∠ACD=40°或20°时，△ADF为等腰三角形．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得∠DCA=α，CD=CA，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠CDA=∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$α，根据三角形外角性质得∠DFA=∠FCA+∠FAC=α+30°，当FD=FA，则∠FDA=∠FAD，这不合题意舍去；当AF=AD，则∠ADF=∠AFD，即90°-$\frac{1}{2}$α=30°+α；当DF=DA，则∠DFA=∠DAF，即30°+α=90°-$\frac{1}{2}$α-30°，然后分别解方程即可得到α的值即可．

解答 解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA=α，CD=CA，
∴∠CDA=∠CAD=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∠DFA=∠FCA+∠FAC=α+30°，
当FD=FA，则∠FDA=∠FAD，这不合题意舍去；
当AF=AD，则∠ADF=∠AFD，即90°-$\frac{1}{2}$α=30°+α，解得α=40°；
当DF=DA，则∠DFA=∠DAF，即30°+α=90°-$\frac{1}{2}$α-30°，解得α=20°．
故答案为40°或20°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的判定．