Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：
①b²-4ac＞0；②3b＜2c；③（a+c）²＞b²；④a＞

c-b

2

；⑤4a+2b+c＞0．
其中正确的结论有

①②④

（填上正确结论的序号）．

Answer 1

分析：由函数的图象得出抛物线开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交点在负半轴上，且对称轴为x=1，且x=1或x=2时对应的函数值小于0，x=1或x=3时对应的函数值大于0，进而确定出b²-4ac大于0，选项①正确；a大于0，a与b异号，c小于0，根据对称轴公式得出a与b的关系式2a+b=0，由c＜0，在不等式左右两边同时加上-b，将右边的-b化为2a，变形后得到不等式，可得出④正确；由抛物线图象及对称性得到x=3时，所对应的函数值y大于0，将x=3代入抛物线解析式后，将表示出的a代入，可得出3b小于2c，选项②正确；将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c小于0，再将x=-1代入抛物线解析式得到a-b+c大于0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）²小于b²，选项③错误；由x=2时对应的函数值小于0，将x=2代入抛物线解析式中得到4a+2b+c小于0，选项⑤错误，即可确定出正确选项的序号．

解答：解：由函数图象可得：抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，抛物线与x轴有两个交点，
∴a＞0，c＜0，b²-4ac＞0，选项①正确；
又抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，即b=-2a，
∴b＜0，
∵x=3时，y=9a+3b+c＞0，且a=-

1

2

b，
∴-

9

2

b+3b+c＞0，即c＞

3

2

b，
∴3b＜2c，选项②正确；
∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＞0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）-b]=（a+c）²-b²＜0，
∴（a+c）²＜b²，选项③错误；
∵c＜0，
∴-b+c＜-b，又b=-2a，
∴-b+c＜2a，即a＞

c-b

2

，选项④正确；
∵x=2时，y=4a+2b+c＜0，选项⑤错误，
则正确的序号有：①②④．
故答案为：①②④

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，其中a的符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴左侧时，a与b同号；当对称轴在y轴右侧时，a与b异号；c的符号有抛物线与y轴的交点位置决定；根的判别式的符号有抛物线与x轴交点的个数来决定；此外还要找出图象上的特殊点对应的函数值的正负来进行判断．