Question

如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB（中点除外）上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．

（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为______，点D的坐标为______（用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证：AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）C（2a，0），D（0，2a+8）；

（2）方法一：由题意得：A（-4，0），B（0，4），
-4＜a＜0，且a≠2，
①当2a+8＜4，即-4＜a＜-2时，
AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，
∴AC=BD；
②当2a+8＞4，即-2＜a＜0时，
同理可证：AC=BD，
综上：AC=BD；

方法二：①当点D在B、O之间时，

连CD，
∵∠COD=90°
∴圆心M在CD上
过点D作DF∥AB
∵点M为CD中点
∴MA为△CDF中位线
∴AC=AF
又DF∥AB
∴
而BO=AO
∴AF=BD
∴AC=BD；
②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD；
综上：AC=BD；

（3）方法一：
①A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，
E的纵坐标为a+6，∴ME=（y_E-y_M）=[a+6-（a+4）]=2
AB=4
∴AB=2ME；
②AM=（y_M-y_A）=（a+4），BE=|y_E-y_B|=|a+2|，
∵AM=BE，
又-4＜a＜0，且a≠2，
①当-4＜a＜-2时，（a+4）=-（a+2）
∴a=-3，∴M（-3，1）；
②当-2＜a＜0时，（a+4）=（a+2）
∴a不存在；

方法二：
①当点D在B、O之间时，作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q，取AB中点N，
在Rt△MNO与Rt△DEM中，MO=MD
∠MON=45°-∠MOP
∠EMD=45°-∠DMQ=45°-∠OMQ=45°-∠MOP
∴∠MON=∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM
∴MN=ED=EB
∴AB=2NB=2（NE+EB）=2（NE+MN）=2ME
当点D在点B上方时，同理可证；
②当点D在B、O之间时，
由①得MN=EB
∴AM=NE
若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=
∴M（-3，1）
点D在点B上方时，不存在．
注：（2）、（3）两问凡需要讨论而没有讨论的，每漏讨论一次扣．
分析：（1）直接利用垂径定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；
（2）本题可用直角坐标系中两点间的距离公式分别求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；
（3）①根据A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，E的纵坐标为a+6，可求得ME=（y_E-y_M）=[a+6-（a+4）]=2，AB=4，所以AB=2ME；
②因为AM=（y_M-y_A）=（a+4），BE=|y_E-y_B|=|a+2|，AM=BE，结合条件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3可知M（-3，1）；当-2＜a＜0时，a不存在．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．