Question

14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．求证：PC=CQ．

Answer 1

分析 直接利用全等三角形的判定与性质得出△ACD≌△BCE（SAS），则∠CEQ=∠CDP，进而得出△CEQ≌△CDP（ASA），即可得出答案．

解答 证明∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CEQ=∠CDP，
∵在△CEQ和△CDP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEQ=∠CDP}\\{EC=DC}\\{∠ECQ=∠DCB}\end{array}\right.$
∴△CEQ≌△CDP（ASA），
∴CQ=CP．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，根据题意得出△ACD≌△BCE是解题关键．