Question

3．如图，已知AB丄BD，CD丄BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．

Answer 1

分析 （1）设BP=x，则PD=10-x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{DC}$时，△ABP∽△PDC，即$\frac{9}{10-x}$=$\frac{x}{4}$，当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△ABP∽△CDP，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{10-x}$，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；
（2）设BP=x，则PD=12-x，与（1）解答一样，易得$\frac{9}{12-x}$=$\frac{x}{4}$或$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{12-x}$，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长．

解答 解：（1）存在．
设BP=x，则PD=10-x，
∵∠B=∠D，
∴当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{DC}$时，△ABP∽△PDC，即$\frac{9}{10-x}$=$\frac{x}{4}$，
整理得x²-10x+36=0，此方程没有实数解；
当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△ABP∽△CDP，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{10-x}$，即解得x=$\frac{90}{13}$，
即BP的长为$\frac{19}{13}$；
（2）存在2个P点．
设BP=x，则PD=12-x，
∵∠B=∠D，
∴当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{DC}$时，△ABP∽△PDC，即$\frac{9}{12-x}$=$\frac{x}{4}$，
整理得x²-12x+36=0，解得x₁=x₂=6；
当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△ABP∽△CDP，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{12-x}$，即解得x=$\frac{108}{13}$，
即BP的长为6或$\frac{108}{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．