Question

8．如图，已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过第二象限内的点A（-1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上另一点C（n，-2）．
（1）求直线y=ax+b的解析式；
（2）设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．
（3）求直线与双曲线的两个交点A，C与点O围成的△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点A的横坐标与△AOB的面积求出AB的长度，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点C的坐标，根据点A与点C的坐标利用待定系数法即可求出直线y=ax+b的解析式；
（2）根据直线y=ax+b的解析式，取y=0，求出对应的x的值，得到点M的坐标，然后求出BM的长度，在△ABM中利用勾股定理即可求出AM的长度．
（3）根据S_△AOC=S_△AOM+S_△COM求得即可．

解答 解：（1）∵点A（-1，m）在第二象限内，
∴AB=m，OB=1，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$AB•BO=2，
即：$\frac{1}{2}$×m×1=2，
解得m=4，
∴A （-1，4），
∵点A （-1，4），在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{-1}$，
解得k=-4，
∴反比例函数为y=-$\frac{4}{x}$，
又∵反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象经过C（n，-2）
∴-2=$\frac{-4}{n}$，
解得n=2，
∴C （2，-2），
∵直线y=ax+b过点A （-1，4），C （2，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-a+b}\\{-2=2a+b}\end{array}\right.$，
解方程组得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线y=ax+b的解析式为y=-2x+2；

（2）当y=0时，即-2x+2=0，
解得x=1，
∴点M的坐标是M（1，0），
在Rt△ABM中，
∵AB=4，BM=BO+OM=1+1=2，
由勾股定理得AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）S_△AOC=S_△AOM+S_△COM=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×2=3．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．