Question

8．如图1，在菱形ABCD中，点E为AD的中点，点F为折线A-B-C-D上一个动点（从点A出发到点D停止），连结EF，设点F的运动路径的长为x，EF²为y，y关于x的函数图象由C₁，C₂，C3三段组成，已知C₂与C₃的界点N的坐标如图2所示．
（1）求菱形的边长；
（2）求图2中图象C₃段的函数解析式；
（3）当7≤y≤28时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）N是C₂与C₃的界点，且四边形ABCD是菱形，此刻点F恰好运动到点C，由此即可解决问题；
（2）由（1）结合图象可知，当点F运动到点C时，在△CDE中，可得DE²+EF²=CD²，推出△CDE是直角三角形，由CD=2DE，可得∠DCE=30°，∠D=60°，如图所示，当F在CD上时（8≤x≤12），作EG⊥CD于G，利用勾股定理即可解决问题；
（3）求出C₁，C₂，C₃段的好像解析式，分情形列出方程，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵N是C₂与C₃的界点，且四边形ABCD是菱形，
∴此刻点F恰好运动到点C，
∴菱形的边长=$\frac{8}{2}$=4．

（2）由（1）结合图象可知，当点F运动到点C时，
在△CDE中，∵EF²=12，ED²=4，CD²=16，
∴DE²+EF²=CD²，
∴△CDE是直角三角形，
∵CD=2DE，
∴∠DCE=30°，∠D=60°，
如图所示，当F在CD上时（8≤x≤12），
作EG⊥CD于G，∵∠D=60°，DE=2，

∴DG=1，EG=$\sqrt{3}$，
在Rt△GEF中，GF²+GE²=EF²，
∴y=（11-x）²+3，
∴图象C₃段的函数解析式为y=x²-22x+124（8≤x≤12）．

（3）同理可得图象C₁段的函数解析式为y=x²+2x+4（0≤x≤4），
图象C₂段的函数解析式为y=x²-16x+76（4≤x≤8），
图象C₃段的函数解析式为y=x²-22x+124（8≤x≤12）．
分情形讨论：
当y=7时，7=x²+2x+4，解得x=1或-3（舍弃），
7=x²-16x+76，方程无解，
7=x²-22x+124，解得x=9或13（舍弃），
当y=28时，28=x²+2x+4，解得x=4或-6（舍弃），
28=x²-16x+76，解得x=4或12（舍弃）
28=x²-22x+124，方程在8≤x≤12内无解，
于是当y=28时，x=4，这点刚好是图象C₁，C₂的解得，也是菱形中的点B，
∴当7≤y≤28时，x的取值范围是1≤x≤9．

点评 本题考查四边形综合题、勾股定理的逆定理、一元二次方程、二次函数等知识，解题的关键是读懂图象信息解决问题，学会用分类讨论的思想实际问题，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．