【题目】已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处,∠α绕着顶点O旋转,角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N,∠α与正n边形重叠部分面积为S.
(1)当n=4,边长为2,∠α=90°时,如图(1),请直接写出S的值;
(2)当n=5,∠α=72°时,如图(2),请问在旋转过程中,S是否发生变化?并说明理由;
(3)当n=6,∠α=120°时,如图(3),请猜想S是原正六边形面积的几分之几(不必说明理由).若∠α的平分线与BC边交于点P,判断四边形OMPN的形状,并说明理由.
【答案】
(1)
解:如图1,连接OA、OB,
当n=4时,四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,AO⊥BO,
∴∠AOB=90°,
∴∠AON+∠BON=90°,
∵∠MON=∠α=90°,
∴∠AON+∠AOM=90°,
∴∠BON=∠AOM,
∵O是正方形ABCD的中心,
∴∠OAM=∠ABO=45°,
在△AOM和△BON中,
∵ ,
∴△AOM≌△BON(ASA),
∴S△AOM=S△BON,
∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON,
即S四边形ANDM=S△ABO=S,
∵正方形ABCD的边长为2,
∴S正方形ABCD=2×2=4,
∴S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1
(2)
解:如图2,在旋转过程中,∠α与正n边形重叠部分的面积S不变,
理由如下:连接OA、OB,
则OA=OB=OC,∠AOB=∠MON=72°,
∴∠AOM=∠BON,且∠OAB=∠OBC=54°,
∴△OAM≌△OBN,
∴四边形OMBN的面积:S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB,
故S的大小不变
(3)
解:猜想:S是原正六边形面积的 ,理由是:
如图3,连接OB、OD,
同理得△BOM≌△DON,
∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF;
四边形OMPN是菱形,
理由如下:
如图4,作∠α的平分线与BC边交于点P,
连接OA、OB、OC、OD、PM、PN,
∵OA=OB=OC=OD,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°,
∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°,∠AOM=∠BOP=∠CON,
∴△OAM≌△OBP≌△OCN,
∴OM=OP=ON,
∴△OMP和△OPN都是等边三角形,
∴OM=PM=OP=ON=PN,
∴四边形OMPN是菱形.
【解析】(1)如图1,连接对角线OA、OB,证明△AOM≌△BON(ASA),则S△AOM=S△BON , 所以S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1;(2)如图2,在旋转过程中,∠α与正n边形重叠部分的面积S不变,连接OA、OB,同理证明△OAM≌△OBN,则S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB , 故S的大小不变;(3)如图3,120°相当于两个中心角,可以理解为一个中心角连续旋转两次,由前两问的推理得,旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的 ,则S是原正六边形面积的 ;也可以类比(1)(2)证明△OAM≌△OBN,利用割补法求出结论;
四边形OMPN是菱形,
理由如下:如图4,作∠α的平分线与BC边交于点P,作辅助线构建全等三角形,同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN,得△OMP和△OPN都是等边三角形,则OM=PM=OP=ON=PN,根据四边相等的四边是菱形可得:四边形OMPN是菱形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解旋转的性质的相关知识,掌握①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°,斜坡与地面成60°角,CD=4m,请你根据这些数据求电线杆的高(AB).
(结果精确到1m,参考数据: ≈1.4, ≈1.7)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,设ON的反向延长线为OD,则∠COD= °,∠AOD= °.
(2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,求∠AOM﹣∠NOC的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某商场购进一种单价为40元的书包,如果以单价50元出售,那么每月可售出30个,根据销售经验,售价每提高5元,销售量相应减少1个.
(1)请写出销售单价提高x元与总的销售利润y元之间的函数关系式;
(2)如果你是经理,为使每月的销售利润最大,那么你确定这种书包的单价为多少元?此时,最大利润是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在边长为1的正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3).将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1 .
(1)画出旋转后的△A1OB1 , 点A1的坐标为;
(2)在旋转过程中,点B经过的路径为 ,求 的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图:二次函数y=ax2+bx+c的图像所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2 , 且x1≠x2 , 则x1+x2=2,正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.
(1)请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com