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【题目】已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处,∠α绕着顶点O旋转,角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N,∠α与正n边形重叠部分面积为S.
(1)当n=4,边长为2,∠α=90°时,如图(1),请直接写出S的值;

(2)当n=5,∠α=72°时,如图(2),请问在旋转过程中,S是否发生变化?并说明理由;

(3)当n=6,∠α=120°时,如图(3),请猜想S是原正六边形面积的几分之几(不必说明理由).若∠α的平分线与BC边交于点P,判断四边形OMPN的形状,并说明理由.

【答案】
(1)

解:如图1,连接OA、OB,

当n=4时,四边形ABCD是正方形,

∴OA=OB,AO⊥BO,

∴∠AOB=90°,

∴∠AON+∠BON=90°,

∵∠MON=∠α=90°,

∴∠AON+∠AOM=90°,

∴∠BON=∠AOM,

∵O是正方形ABCD的中心,

∴∠OAM=∠ABO=45°,

在△AOM和△BON中,

∴△AOM≌△BON(ASA),

∴SAOM=SBON

∴SAOM+SAON=SBON+SAON

即S四边形ANDM=SABO=S,

∵正方形ABCD的边长为2,

∴S正方形ABCD=2×2=4,

∴S=SABO= S正方形ABCD= ×4=1


(2)

解:如图2,在旋转过程中,∠α与正n边形重叠部分的面积S不变,

理由如下:连接OA、OB,

则OA=OB=OC,∠AOB=∠MON=72°,

∴∠AOM=∠BON,且∠OAB=∠OBC=54°,

∴△OAM≌△OBN,

∴四边形OMBN的面积:S=SOBN+SOBM=SOAM+SOBM=SOAB

故S的大小不变


(3)

解:猜想:S是原正六边形面积的 ,理由是:

如图3,连接OB、OD,

同理得△BOM≌△DON,

∴S=SBOM+S四边形OBCN=SDON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF

四边形OMPN是菱形,

理由如下:

如图4,作∠α的平分线与BC边交于点P,

连接OA、OB、OC、OD、PM、PN,

∵OA=OB=OC=OD,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°,

∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°,∠AOM=∠BOP=∠CON,

∴△OAM≌△OBP≌△OCN,

∴OM=OP=ON,

∴△OMP和△OPN都是等边三角形,

∴OM=PM=OP=ON=PN,

∴四边形OMPN是菱形.


【解析】(1)如图1,连接对角线OA、OB,证明△AOM≌△BON(ASA),则SAOM=SBON , 所以S=SABO= S正方形ABCD= ×4=1;(2)如图2,在旋转过程中,∠α与正n边形重叠部分的面积S不变,连接OA、OB,同理证明△OAM≌△OBN,则S=SOBN+SOBM=SOAM+SOBM=SOAB , 故S的大小不变;(3)如图3,120°相当于两个中心角,可以理解为一个中心角连续旋转两次,由前两问的推理得,旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的 ,则S是原正六边形面积的 ;也可以类比(1)(2)证明△OAM≌△OBN,利用割补法求出结论;
四边形OMPN是菱形,
理由如下:如图4,作∠α的平分线与BC边交于点P,作辅助线构建全等三角形,同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN,得△OMP和△OPN都是等边三角形,则OM=PM=OP=ON=PN,根据四边相等的四边是菱形可得:四边形OMPN是菱形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解旋转的性质的相关知识,掌握①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.

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