【题目】阅读:如图1,点P(x,y)在平面直角坐标中,过点P作PA⊥x轴,垂足为A,将点P绕垂足A顺时针旋转角α(0°<α<90°)得到对应点P′,我们称点P到点P′的运动为倾斜α运动.例如:点P(0,2)倾斜30°运动后的对应点为P′(1,).
图形E在平面直角坐标系中,图形E上的所有点都作倾斜α运动后得到图形E′,这样的运动称为图形E的倾斜α运动.
理解
(1)点Q(1,2)倾斜60°运动后的对应点Q′的坐标为 ;
(2)如图2,平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′,M′N′与MN平行且相等吗?说明理由.
应用:(1)如图3,正方形AOBC倾斜α运动后,其各边中点E,F,G,H的对应点E′,F′,G′,H′构成的四边形是什么特殊四边形: ;
(2)如图4,已知点A(0,4),B(2,0),C(3,2),将△ABC倾斜α运动后能不能得到Rt△A′B′C′,且∠A′C′B′为直角,其中点A′,B′,C′为点A,B,C的对应点.请求出cosα的值.
【答案】理解(1)(,1);(2)M′N′与MN平行且相等;应用(1)矩形;(2).
【解析】
试题分析:理解:
(1)根据题目中称点P到P′的运动为倾α运动的定义来求Q′的坐标;
(2)根据题目中图形E的倾α运动的定义可以判断M′N′与MN的关系;
应用:
(1)参考理解(2)可得,正方形AOBC旋转后形成菱形,菱形的四边中点组成的四边形是矩形;
(2)先求出A′B′=4=OA′,利用三角函数求得cosα的值.
试题解析:(1)如图1,过点Q作QA⊥x轴,垂足为A,过旋转Q′作x轴的垂线,垂足为B,在Rt△ABQ′中,∠Q′AB=30°,BQ′=1,由勾股定理得AB=,∴OB=,∴Q′的坐标为(,1).故答案为:(,1);
(2)M′N′与MN平行且相等,理由如下:
如图2,分别过点M、N作MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B,∴MN∥AB,且MN=AB,由定义可知,M′A∥N′B,M′A=N′B,∴四边M′ABN′是平行四边形,∴M′N′∥AB,M′N′=AB,∴M′N′与MN平行且相等.
应用:(1)由理解(2)可得,正方形AOBC旋转后形成菱形,菱形的四边中点组成的四边形是矩形.
故答案为:矩形;
(2)能,cosα=.如图3,设AB的中点为D,∴D点坐标为(1,2),∴CD∥x轴,且CD=2,∵D点对应点D′是A′B′中点,C′D′=2,∴C′D′=A′B′,∴A′B′=4=OA′,∵∠α=∠OA′B′,∴cosα=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知点P(,)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算.
例如:求点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离.
解:因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离为:d====.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0,5),半径r为2,判断⊙Q与直线的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行,求这两条直线之间的距离.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】 “农民也可以报销医疗费了!”这是某市推行新型农村医疗合作的成果.村民只要每人每年交10元钱,就可以加入合作医疗,每年先由自己支付医疗费,年终时可得到按一定比例返回的返回款.这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力.小华与同学随机调查了他们乡的一些农民,根据收集到的数据绘制了以下的统计图.
根据以上信息,解答以下问题:
(1)本次调查了多少村民,被调查的村民中,有多少人参加合作医疗得到了返回款;
(2)该乡若有10 000村民,请你估计有多少人参加了合作医疗?要使两年后参加合作医疗的人数增加到9 680人,假设这两年的年增长率相同,求这个年增长率.
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