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【题目】阅读:如图1,点P(x,y)在平面直角坐标中,过点P作PA⊥x轴,垂足为A,将点P绕垂足A顺时针旋转角α(0°<α<90°)得到对应点P′,我们称点P到点P′的运动为倾斜α运动.例如:点P(0,2)倾斜30°运动后的对应点为P′(1,).

图形E在平面直角坐标系中,图形E上的所有点都作倾斜α运动后得到图形E′,这样的运动称为图形E的倾斜α运动.

理解

(1)点Q(1,2)倾斜60°运动后的对应点Q′的坐标为

(2)如图2,平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′,M′N′与MN平行且相等吗?说明理由.

应用:(1)如图3,正方形AOBC倾斜α运动后,其各边中点E,F,G,H的对应点E′,F′,G′,H′构成的四边形是什么特殊四边形:

(2)如图4,已知点A(0,4),B(2,0),C(3,2),将△ABC倾斜α运动后能不能得到Rt△A′B′C′,且∠A′C′B′为直角,其中点A′,B′,C′为点A,B,C的对应点.请求出cosα的值.

【答案】理解(1),1);(2)M′N′与MN平行且相等;应用(1)矩形;(2)

【解析】

试题分析:理解:

(1)根据题目中称点P到P′的运动为倾α运动的定义来求Q′的坐标;

(2)根据题目中图形E的倾α运动的定义可以判断M′N′与MN的关系;

应用:

(1)参考理解(2)可得,正方形AOBC旋转后形成菱形,菱形的四边中点组成的四边形是矩形;

(2)先求出A′B′=4=OA′,利用三角函数求得cosα的值.

试题解析:(1)如图1,过点Q作QA⊥x轴,垂足为A,过旋转Q′作x轴的垂线,垂足为B,在Rt△ABQ′中,∠Q′AB=30°,BQ′=1,由勾股定理得AB=,∴OB=,∴Q′的坐标为(,1).故答案为:(,1)

(2)M′N′与MN平行且相等,理由如下:

如图2,分别过点M、N作MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B,∴MN∥AB,且MN=AB,由定义可知,M′A∥N′B,M′A=N′B,∴四边M′ABN′是平行四边形,∴M′N′∥AB,M′N′=AB,∴M′N′与MN平行且相等.

应用:(1)由理解(2)可得,正方形AOBC旋转后形成菱形,菱形的四边中点组成的四边形是矩形.

故答案为:矩形;

(2)能,cosα=.如图3,设AB的中点为D,∴D点坐标为(1,2),∴CD∥x轴,且CD=2,∵D点对应点D′是A′B′中点,C′D′=2,∴C′D′=A′B′,∴A′B′=4=OA′,∵∠α=∠OA′B′,∴cosα=

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所以点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离为:d====

根据以上材料,解答下列问题:

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