【题目】已知点P(,)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算.
例如:求点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离.
解:因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离为:d====.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0,5),半径r为2,判断⊙Q与直线的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行,求这两条直线之间的距离.
【答案】(1);(2)相切;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可;
(2)先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线,然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线相切;
(3)利用两平行线间的距离定义,在直线y=﹣2x+4上任意取一点,然后计算这个点到直线y=﹣2x﹣6的距离即可.
试题解析:(1)因为直线y=x﹣1,其中k=1,b=﹣1,所以点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离为:d====;
(2)⊙Q与直线的位置关系为相切.
理由如下:
圆心Q(0,5)到直线的距离为:d===2,而⊙O的半径r为2,即d=r,所以⊙Q与直线相切;
(3)当x=0时,y=﹣2x+4=4,即点(0,4)在直线y=﹣2x+4,因为点(0,4)到直线y=﹣2x﹣6的距离为:d===,因为直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行,所以这两条直线之间的距离为.
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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
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【题目】若点M(x,y)满足(x+y)2=x2+y2﹣2,则点M所在象限是( )
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 不能确定
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【题目】如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.
求证:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是线段CD的垂直平分线.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1.
(1)求点D到AB的距离;
(2)求BD的长度.
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【题目】阅读:如图1,点P(x,y)在平面直角坐标中,过点P作PA⊥x轴,垂足为A,将点P绕垂足A顺时针旋转角α(0°<α<90°)得到对应点P′,我们称点P到点P′的运动为倾斜α运动.例如:点P(0,2)倾斜30°运动后的对应点为P′(1,).
图形E在平面直角坐标系中,图形E上的所有点都作倾斜α运动后得到图形E′,这样的运动称为图形E的倾斜α运动.
理解
(1)点Q(1,2)倾斜60°运动后的对应点Q′的坐标为 ;
(2)如图2,平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′,M′N′与MN平行且相等吗?说明理由.
应用:(1)如图3,正方形AOBC倾斜α运动后,其各边中点E,F,G,H的对应点E′,F′,G′,H′构成的四边形是什么特殊四边形: ;
(2)如图4,已知点A(0,4),B(2,0),C(3,2),将△ABC倾斜α运动后能不能得到Rt△A′B′C′,且∠A′C′B′为直角,其中点A′,B′,C′为点A,B,C的对应点.请求出cosα的值.
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