Question

6．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出∠BCP=∠DCP，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠CBP=∠CDP，再利用对顶角相等和平行线性质证明即可．

解答 证明：（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．