Question

【题目】如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．

（1）证明BC与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6π－9.

【解析】

（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；
（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．

（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE,

∵BE是直径，∴∠EDB＝90°，

∴∠E＋∠EBD＝90°

∵＝，∴∠E＝∠A

又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠E

∴∠DBC＋∠EBD＝90°，∴∠EBC＝90°，∴BC⊥EB.

又∵OB是半径（B在⊙O上），∴BC与⊙O相切.

（2）∵＝，∴∠BOD＝2∠A＝60°

S阴影＝ S扇形OBD－S△OBD＝π36×－9＝6π－9.