Question

【题目】若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“天平数”．将“天平数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“天平数”n′，记F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9

（1）计算F（5335）=　 　；若“天平数”n满足F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；

（2）s、t“天平数“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b， xy为整数），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，规定：K（s，t）=，求K（s，t）的所有结果的值．

Answer 1

【答案】（1）18，F（n）=0或9或36；（2）或或．

【解析】

(1)根据天平数的定义即可解答.

(2)根据（1）的方法分别求出a,b,x,y的值即可进行解答.

解：（1）根据“天平数”的意义得，5335的“天平数”为3553，

∴F（5335）==18，

故答案为：18，

设n为，（0＜c≤9，0＜d≤9），则它的“天平数”n'为，

∴n=1000c+100d+10d+c=1001c+110d，

n'=1000d+100c+10c+d=1001d+110c，

∴n﹣n'=1001c+110d﹣（1001d+110c）=891（c﹣d），

∴F（n）===9（c﹣d），

∵F（n）是一个完全平方数，

∴（c﹣d）是一个完全平方数，

∵0＜c≤9，0＜d≤9，

∴0≤c﹣d＜9，

∴c﹣d=0或1或4，

∴F（n）=0或9或36；

（2）同（1）的方法得，F（s）=9（a﹣b），0≤a﹣b≤9，

∵F（s）能被8整除，

∴a﹣b=8，

∴F（s）=72，a=b+8，

同（1）的方法得，F（t）=9（x﹣y），

∵F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，

∴72+9（x﹣y）﹣9（y+1）=0，

∴x=2y﹣7，

∵1≤x＜y≤9，

∴x=1，y=4或x=3，y=5或x=5，y=6，

∴K（s，t）======或或．